РЕФЕРАТ ПО ФИЗИКЕ

на тему

Реферат по физике - Волны в упругой среде. Волновое уравнение".

СОДЕРЖАНИЕ.

стр.

Глава I. Волна.

§1. Понятие упругой волны. Поперечные и продольные волны. …2

§2. Фронт волны. Длина волны. …3

Глава II. Волновое уравнение.

§1. Математические сведения. …4

§2. Упругие волны в стержне.

волновое уравнение. …5
§3. Упругие волны в газах и жидкостях.
1) волновое уравнение; …8
2) случай идеального газа… 9
Список использованной литературы. …11

Практические задания.

Задача №1. …12

Задача №2. …13

Задача №3. …14

Глава I.

Волна.

§1. Понятие волны. Поперечные и продольные волны.

Если в каком-либо месте упругой (твердой, жидкой или газообразной) среды возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v. Процесс распространения колебаний в пространстве называется волной.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Рисунок 1

На рис. 1 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1, 2 и т. д. обозначены частицы, отстоящие друг от друга на расстояние, равное 1/4vТ, т. е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний,

совершаемых частицами. В момент времени, принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла час­тицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения; одновременно начинает смещаться из положения равновесия частица 2. По прошествии еще четверти периода первая частица будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнет смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени, равный Т, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как и в начальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь vТ, достигнет частицы 5.

На рис. 2 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево. Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разрежения частиц (места сгущения частиц обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со ско­ростью v.

Рисунок 2

§2. Фронт волны. Длина волны.

На рис. 1 и 2 показаны колебания частиц, положения равновесия которых лежат на оси х. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси х, а совокупность частиц, заключенных в некотором объеме. Распространяясь от ис­точника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред­ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными. Волновой фронт все время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне - множество концентрических сфер.

Рассмотрим случай, когда плоская волна распространяется вдоль оси х. Тогда все точки среды, положения равновесия которых имеют одинаковую координату х (но различные значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

Рисунок 3

На рис. 3 изображена кривая, которая дает смещение из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функции (х, t) для некоторого фиксированного момента времени t. С течением времени график перемещается вдоль оси х. Такой график можно строить как для продольной, так и для поперечной волны. В обоих случаях он выглядит одинаково.

Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. Очевидно, что

=vТ, (1.1)

где v - скорость волны, Т - период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2П. Заменив в соотношении (1.1) Т через 1/ ( - частота колебаний), получим

=v (1.2)

Рассмотрев кратко основные понятия, связанные с волной, перейдем к описательной стороне, т. е. волновому уравнению.

Глава II.

Волновое уравнение.

§1. Математические сведения.

Этот параграф является математическим введением к тому динамическому рассмотрению волн, которое будет дано в $2. Рассмотрим произвольную функцию

f (at-bx) (2.3) от аргумента аt-bх. Продифференцируем ее дважды по t:

(2.4)

Здесь штрих означает дифференцирование по аргументу at-bx. Продифференцируем теперь нашу функцию дважды по х:

(2.5)

Сравнивая (2.4) и (2.5), мы убеждаемся, что функция (2.3) удовлетворяет уравнению

(2.6)

где

u=a/b.

Легко видеть, что этому же уравнению удовлетворяет произвольная функция

f (at+bx) (2.7) (2.7) аргумента at+bx, а также сумма функций вида (2.3) и (2.7).

Функции (2.3) и (2.7) изображают при положительных a, b плоские волны, распространяющиеся, не деформируясь, со скоростью и в сторону соответственно возрастающих или убывающих значений х **).

Уравнение (2.6)-дифференциальное уравнение в частных производных, играющее в физике очень важную роль. Оно называется волновым уравнением. В математических курсах доказывается, что оно не имеет решений, отличных от тех, которые могут быть представлены функциями вида (2.3) и (2.7) или суперпозицией таких функций, например,

f1(at - bх) + f2(at+bx).

Всякий раз, когда из физических соображений можно установить, что та или иная физическая величина s удовлетворяет уравнению вида

(2.6а)

мы сможем на основании сообщенных здесь математических сведений заключить, что процесс изменений этой величины носит характер плоской, волны, распространяющейся в ту или другую сторону со скоростью и, или суперпозиции таких волн.

Вид функций f1, f2 определяется характером движения источника волн, а также явлениями, происходящими на границе среды.

Пусть источником волн является плоскость х=0, причем на этой плоскости величина S колеблется но закону s =Acoswt. В этом случае от плоскости х=0 распространяются вправо и влево волны

s= Acos (wt kx), k = .

Из линейности волнового уравнения следует, что если ему удовлетворяют функции s1, s2,s3, …в отдельности, то ему удовлетворяет также функция

S == S1 + S2 + S3 + …

(принцип, суперпозиции).

Рассмотрим несколько примеров.

Волновому уравнению удовлетворяют синусоидальные бегущие волны
s1 = Aсоs (wt - kx), s2= Acos (wt+kx).

На основании принципа суперпозиции волновому уравнению удовлетворяет стоячая волна

s=2Acoskx coswt

являющаяся суперпозицией только что рассмотренных синусоидальных бегущих волн.

Волновому уравнению на основании принципа суперпозиции удовлетворяет всякая функция вида
S=

Это-функция вида f (at-bx); она изображает несинусоидальную волну, распространяющуюся без деформации в сторону возрастающих х.

Пусть волны S1, S2, имеющие вид коротких импульсов, распространяются навстречу одна другой. В некоторый момент моментальный снимок суперпозиции S1 + S2 этих волн имеет вид, показанный на рис. 4,а. Через некоторое время моментальный снимок волны будет иметь вид, показанный на рис. 4, б, - волны пройдут "одна сквозь другую" и притом каждая так, как будто другой не существует.
§2. Упругие волны в стержне.

волновое уравнение.
В предыдущем параграфе мы рассмотрели математическую сторону волнового уравнения. В этом же параграфе я хотел бы на конкретном примере рассмотреть как работает тот математический аппарат.

Рисунок 4

Применим второй закон Ньютона и закон сложения сил к движению куска стержня, заключенного между двумя плоскостями x и х+ х. Масса этого куска равна р0S0 х, где р0 и S0 - соответственно плотность и сечение в отсутствие деформации. Пусть - смещение центра тяжести рассматриваемого куска. Тогда

слева стоит произведение массы куска на ускорение д2 /дt2 его центра тяжести, справа - результирующая внешних сил, действующая на кусок.

Разделим уравнение на S0:

(2.7)

Перейдя к пределу при, получим уравнение

(2.8)

справедливое в каждой точке стержня. Оно указывает, что ускорение данной точки пропорционально частной производной напряжения по ж в этой точке.

Подставляя в (2.8) соотношение (2.7), получим:

(2.9)

Вспомнив теперь формулу, содержащую определение деформации, и подставив ее в (2.9), получаем:

(2.10)

Это-волновое уравнение. Оно указывает, что смещение распространяется но стержню в виде волн

(2.11)

или образует суперпозицию таких волн. Скорость распространения этих волн (скорость звука в стержне)

(2.12)

(мы опускаем для краткости индекс 0 у р). Эта скорость тем больше, чем жестче и чем легче материал. Формула (2.12)-одна из основных формул акустики.

Наряду со смещением нас интересуют скорость v = , с которой

. движутся отдельные плоскости х = const (не смешивать с u), деформация и напряжение. Дифференцируя (2.11) по t и но x, получаем:

v= uf'(x ut) (2.13a)

=f'(x ut), (2.13б)

=Ef' (x ut). (2.13в)

Таким образом, смещение, скорость, деформация и напряжение распространяются в виде связанных определенным образом между собой недеформирующихся волн, имеющих одну и ту же скорость и одинаковое направление распространения.

На рис. 5 показан пример "моментальных снимков", относящихся к одному и тому же моменту времени, смещения, деформации и скорости в одной и той же упругой волне. Там, где смещение имеет максимум или минимум, деформация и скорость равны нулю, так как они обе пропорциональны производной f'{x ut). Физическая интерпретация здесь очевидна: около максимума или минимума смещения соседние (бесконечно близкие) точки одинаково смещены и, следовательно, нет ни растяжения, ни сжатия; в тот момент, когда смещение достигает максимума (минимума), его возрастание сменяется убыванием (или наоборот).

Сравнивая формулы (2.13а), (2.13в) и принимая во внимание (2.12) мы видим, что

(2.14)

где

(2.15)

есть величина, не зависящая от вида функции f и целиком определяемая свойствами материала. Эта величина называется удельным акустическим сопротивлением материала. Она является, как мы видим, наряду с u его важнейшей акустической характеристикой. Название величины связано с формальной аналогией между уравнениями (2.14) и законом Ома (р аналогично разности потенциалов, v - силе тока).

§ 2. Упругие волны в газах и жидкостях
1. Волновое уравнение.
Мы рассматриваем здесь газ или жидкость (так же как твердое тело в предыдущих параграфах) как сплошную непрерывную среду, отвлекаясь от его атомистической структуры. Под смещением мы здесь понимаем (как и в § 1) общее смещение вещества, заполняющего объем, заключающий в себе очень много атомов, но малый по сравнению с длиной волны.

Будем считать, что рассматриваемый газ или жидкость находятся в очень длинной цилиндрической трубе, образующие которой параллельны оси х, и что смещение зависит только от одной координаты х. Мы можем применить к столбу газа или жидкости, заполняющему трубу, те же рассуждения, что и к стержню (§ 1). Мы придем, таким образом, к уравнению

(2.16)

где р = - есть давление в газе или жидкости. Здесь - значение плотности в состоянии равновесия. Пусть ей соответствует давление р0. Величины р0, не зависят ни от х, ни от t.

Уравнение (2.16) применимо и в случае плоских волн в неограниченной жидкой или газообразной среде (можно мысленно выделить цилиндрический столб, параллельный направлению распространения и применить к нему те же рассуждения, что к столбу, заключенному в трубе).

Как известно из термодинамики, р есть функция плотности данной массы газа (или жидкости) и ее температуры. Температура в свою очередь изменяется при сжатии и разрежении. Теплопроводность газов и жидкостей очень мала, поэтому можно считать в первом приближении, что при распространении звука процесс сжатия и разрежения каждой части газа или жидкости происходит адиабатически, т. е. без заметного теплообмена с соседними частями. В термодинамике показывается, что в этом случае (если можно пренебречь внутренним трением и некоторыми другими явлениями температура является однозначной функцией плотности, и следовательно, давление также.

При заданной деформации в твердом теле также зависит от температуры. Но в акустике твердых тел это обстоятельство не играет, существенной роли.

В газах и в жидкостях за некоторыми исключениями (например вода, при температуре ниже 4° С) температура растет при сжатии и уменьшается при расширении.

Есть однозначная функция плотности:

p=f (p). (2.17)

Введем обозначения

, (2.18) где и - соответственно изменения давления и плотности при нарушении равновесия.

Подставляя первую формулу (2.18) в (2.16) и принимая во внимание, что при равновесии давление не зависит от х, т. е.

получаем:

(2.19)

Найдем теперь связь между и деформацией =. Мы сначала выразим через, а затем через :

Подставляя (6.28) в (6.27), имеем:
P0+ =f( + )

разлагая f( + ) в ряд по степеням,

P0+ =f( )+f'( ) +1/2f'( )( )2…

Так как P0=f( ), то получаем:

=f'( ) +1/2f"( )( )2… (2.20)

Здесь мы сделаем существенное предположение: будем считать уплотнения и разрежения настолько малыми, что допустимо пренебречь в разложении (2.20) членами, пропорциональными ( )2, ( )3, . . ., и заменить (2.20) линейным соотношением

=f'( )

Тем самым мы ограничиваем себя исследованием волн малой интенсивности.

f'( ) - постоянный при данных условиях опыта коэффициент, определяемый состоянием среды при равновесии.

Объем V0 в результате деформации превращается в объем
V=V0 (1+ ), (2.21)

так как здесь поперечный размер (в отличие от твердого стержня) остается, постоянным, а длина превращается в. Но произведение плотности на объем, равное массе рассматриваемой порции вещества, не меняется:

Подставляя (2.18) и (2.21), получаем:

Пренебрегая и здесь высшими степенями малой величины, получаем:

Таким образом,

(2.22)

Подставляя, наконец, (2.22) в (2.19), мы получаем волновое уравнение

(2.23)

(2.24)

Отсюда заключаем, что рассматриваемые малые деформации распространяются в виде плоских не деформирующихся волн; скорость распространения (скорость звука) тем больше, чем сильное в данной среде возрастает давление при адиабатическом возрастании плотности; она раина квадратному корню из производной давления по плотности, взятой при значении последней в отсутствие волны ( ).

Случай идеального газа. Идеальным газом называется газ, для которого справедливо уравнение состояния
pV=RT, (2.25)

где p - давление, V-объем одного моля, R-универсальная газовая постоянная, равная 8,3143 эрг/град, T-температура, измеренная по термодинамической шкале ("абсолютная температура"), или

где М- масса 1 моля, = M/V- плотность.

Воздух, кислород, азот, водород и многие другие газы при комнатной температуре и давлении порядка атмосферного можно рассматривать с достаточным для акустики приближением как идеальные газы.

Как учит термодинамика, в случае идеального газа соотношение (2.17) имеет вид

(2.26)

где

постоянная величина (С и С - теплоемкости газа соответственно при постоянном давлении и постоянном объеме). Следовательно, здесь

(2.27)

(формула Лапласа).

Еще задолго до Лапласа вопросом о скорости звука в воздухе занимался Ньютон. Он считал, что

(2.26а)

т. е. не учитывал изменения температуры воздуха при распространении в нем звуковой волны, вследствие чего получил для скорости звука соотношение

(2.27а)

Это соотношение можно получить из уравнения (2.24), подставляя в него (2.26а) вместо (2.26).

Для воздуха ( =1,4) при комнатной температуре (20° С, Т =293°) формула Ньютона дает u =290 м/сек, формула Лапласа и =340 м/сек. Сравнивая эти значения с теми, которые дает опыт (гл. V, § 3), мы видим, что формула Лапласа, в отличие от формулы Ньютона, хорошо согласуется с опытом. Формула Лапласа хорошо подтверждается на опыте и для других газов (но крайней мере при не очень высоких частотах.

Этим оправдывается предположение о том, что сжатие и разрежение газа в звуковой волне являются практически адиабатическими процессами.

Список использованной литературы.

#224; Горелик, Колебания и волны,
#224; И. В. Савельев, курс общей физики, т.2, М, 1988г.
#224; Б. М. Яворский, А. А. Пинский, Основы физики, т.2, М., 1972г.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ.

Задача №1.

Амплитуда вынужденных колебаний реактора при очень малой частоте 2 мм, а при резонансе 16 мм. Предполагая, что декремент затухания меньше единицы, определить его.

Задача №2.

Две волны Х1=Аsin(wt-kl) и Х2=Аsin(wt+kl) с одинаковыми частотами 4Гц распространяются со v=960 см/сек. Они интерферируют между собой и образуют стоячую волну. Определить амплитуды точек стоячей волны через каждые 20 см, начиная отсчет от узла. Определить величину смещения и скорость этих точек для момента времени 7/24 сек.

Задача №3.

Между приемником и стенкой расположен источник звуковых колебаний с частотой - 100 Гц. Линия, проведенная через приемник и источник, нормальна к стенке, которая движется к источнику вдоль этой линии со v=7 м/с. Скорость звука 340 м/с. Возможно ли возникновение акустического биения.